Contoh Soal Turunan SMA

« previous next »

Contoh Soal Turunan SMA

Category: SMA

Manufacturer: show products

TURUNAN DERIVATIF

TURUNAN FUNGSI Y = F(X) DAPAT DI DEFINISIKAN SEBAGAI

$Y'=f'(x)=\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Rumus Turunan fungsi Aljabar

No	Fungsi f(x)	Turunannya f'(x)
1	$Y=c$	$Y'=0$
2	$Y=X^{n}$	$Y'=n.X^{n-i}$
3	$Y=cX^{n}$	$Y'=cn.X^{n-i}$
4	$Y=U(x)^{n},dimanaU(x)sebuah fungsi$	$Y'=c\bigcup (x)^{n-1}.\bigcup '(x)$
5	$Y=U(x)\pm \vee (x)$	$Y'=U'(x)\pm \vee '(x)$
6	$Y=U(x).\vee (x)$	$Y'=U'(x).v(x)+\bigcup (x).\vee '(x)$
7	$Y=\frac{u(x)}{v(x)}$	$Y'=\frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{v^{2}(x)}$

1. Turunan dari $f(x)=x^{3}-2x+4$ adalah...

$f'(x)=3x-2$
$f'(x)=-2x+4$
$f'(x)=3x^{2}-2$
$f'(x)=3x^{2}+4$
$f'(x)=3x^{2}+2$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: C

$f(x)=x^{3}-2x+4$

$f'(x)=3x^{2}-2$

2. Turunan pertama dari $f'(x)=\sqrt[3]{sin^{2}3x}$ adalah $f'(x)=...$

$\frac{2}{3}cos^{\frac{1}{3}}3x$
$2cos^{\frac{1}{3}}3x$
$\frac{2}{3}cos^{\frac{1}{3}}3xsin3x$
$-2cot3x\sqrt[3]{sin^{2}3x}$
$2cot3x\sqrt[3]{sin^{2}3x}$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: E

$f(x)=\sqrt[3]{sin^{2}3x}=sin^{\frac{2}{3}}3x$

$f'(x)=\left [ \frac{2}{3}sin^{-\frac{1}{3}}3x \right ](cos3x)(3)$

$=2cos3xsin^{-\frac{1}{3}}3x$

$=\frac{2cos3x}{sin^{\frac{1}{3}}3x}=\frac{2cos3x}{sin3xsin^{-\frac{2}{3}}3x}$

$2cot3x\sqrt[3]{sin^{2}3x}$

3. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...

$1<x<3$
$-1<x<3$
$-3<x<1$
$x<-3$ atau $x>1$
$x<-1$ atau $x>3$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: C

$\Rightarrow f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$

$f'(x)=3x^{2}+6x-9$

$\Rightarrow$ Fungsi turun jika $f'(x)<0,$

$3x^{2}+6x-9<0$

$x^{2}+2x-3<0$

$(x+3)(x-1)<0$

turunan

Jadi, fungsi f(x) turun saat $-3<x<1$

4. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (5x² - 10 x + 30) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp. 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …

Rp.10.000,00
Rp.20.000,00
Rp.30.000,00
Rp.40.000,00
Rp.50.000,00

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: D

Laba = Harga Jual - Harga Beli

$L=50x-x(5x^{2}-10x+30)$

$=-5x^{3}+10x^{2}+20x$

Keuntungan maksimum jika L' = 0

$-15x^{2}+20x+20=0$

$3x^{2}-4x-4=0$

$(3x+2)(x-2)=0$

$x=-\frac{2}{3}(tm)\vee x=2$

Keuntungan maksimum dicapai saat x = 2

Jadi, L = -5(2) ³ + 10(2)² + 20(2) = 40 (dalam ribuan rupiah)

5. Diketahui fungsi $g(x)=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7, A$ konstanta. Jika $f(x)=g(2x+1)$ dan f turun pada $-\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}$ , nilai minimum relatif g adalah...

$\frac{4}{3}$
$\frac{5}{3}$
$2$
$\frac{7}{3}$
$\frac{8}{3}$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: A

1) $f(x)=g(2x+1)$

$=\frac{1}{3}(2x+1)^{3}-A^{2}(2x+1)+7$

$f'(x)=\frac{1}{3}.3.2(2x+1)^{2}-2A^{2}$

$f'(x)=2(4x^{2}+4x+1)-2A^{2}$

$f'(x)=8x^{2}+8x+2-2A^{2}$

$f'(x)=4x^{2}+4x+1-A^{2}$

2) $-\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}$

$(2x+3)(2x-1)<0$

$4x^{2}+4x-3<0$

3) $4x^{2}+4x+1-A^{2}x+7=\frac{1}{3}x^{3}-4x+7$

$1-A^{2}=-3$

$A^{2}=4$

4) $g(x)=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7=\frac{1}{3}x^{3}-4x+7$

Syarat mencapai minimum relatif adalah:

$g'(a)=0$ dan $g"(a)>0$

5) Uji nilai $g'(x)=0\rightarrow x^{2}-4=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=2$ atau $x=-2$

6) Uji nilai $g"(x)>0\rightarrow 2x>0$

$x=2\rightarrow g"(2)=4>0$

Untuk x = 2 adalah titik minimum relatif

7) $x=-2\rightarrow g"(-2)=-4<0$

Untuk x = -2 adalah titik maksimum relatifnya adalah...

$g(2)=\frac{8}{3}-8+7=\frac{4}{3}$

6. Icha akan menuip balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm³/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20cm/detik, jari-jari bola setelah ditutup adalah…

$\frac{1}{\sqrt{\pi }}cm$
$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}cm$
$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}cm$
$\frac{2}{3\sqrt{\pi }}cm$
$\pi cm$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: A

1) $\frac{dV}{dt}=40;\frac{dR}{dt}=10$

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dR}.\frac{dR}{dt}$

$40=\frac{dV}{dR}.10\Rightarrow \frac{dV}{dR}=3.\frac{4}{3}\pi R^{2}$

2) $V=\frac{4}{3}\pi R^{3}\Rightarrow \frac{dV}{dR}=3.\frac{4}{3}\pi R^{2}$

$\frac{1}{\pi }=R^{2}$

$R=\sqrt{\frac{1}{\pi }}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}$

7. Turunan pertama fungsi $f(x)=4x^{3}-2x^{2}+3x+7\ adalah\ f'(x)=...$

$4x^{3}+2x+3$
$4x^{3}-2x+3$
$12x^{3}-2x+3$
$12x^{2}-4x+7$
$12x^{2}-4x+3$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: E

$f(x)=4x^{3}-2x^{2}+3x+7$

$f'(x)=4.3.x^{2}-2.2.x+3$

$=12x^{2}-4x+3$

8. Grafik fungsi $f(x)=x^{3}+6x^{2}-15x+3$ naik pada interval...

$-5<x<1$
$-1<x<5$
$x<-5\ atau\ x>1$
$x<-1\ atau\ x>5$
$x<1\ atau\ x>5$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: D

$f(x)=x^{3}+6x^{2}-15x+3$

$f'(x)=3x^{2}+6.2.x-15$

$=3x^{2}+12x-15$

Syarat fungsi naik : f' (x) > 0

$3x^{2}+12x-15>0$

$x^{2}+4x-5>0$

$(x+5)(x-1)>0$

$x=-5\vee x=1$

Jadi, naik pada interval x < -5 atau x > 1

9. Diketahui $f(x)=\frac{2x-1}{x+3};x\neq -3$ . Turunan pertama fungsi f(x) adalah f'(x). Nilai f'(2) = ...

$-5$
$-1$
$-\frac{1}{5}$
$\frac{7}{25}$
$\frac{25}{7}$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: D

$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}=\frac{u}{v}$

$u=2x-1\rightarrow u'=2$

$v=x+3\rightarrow v'=1$

$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

$=\frac{2(x+3)-(2x-1)1}{(x+3)^{2}}$

$f'(2)=\frac{2(2+3)-(2.2-1)1}{(2+3)^{2}}$

$=\frac{10-3}{5^{2}}=\frac{7}{25}$

10. Biaya produksi kain batik tulis di perusahaan KP sebanyak x meter dinyatakan dengan fungsi $P(x)=\frac{1}{3}x^{2}-12x+150(dalam\ juta\ rupiah)$ . Biaya produksi minimum yang dikeluarkan adalah...