Contoh Soal Baris dan Deret SMA

« previous next »

Contoh Soal Baris dan Deret SMA

Category: SMA

Manufacturer: show products

Barisan dan Deret Aritmetika

$U_{n}=a+(n-1)b$

$U_{n}=suku ke-n$ $a=suku pertama$ $b=beda/selisih$ $b=U_{n}-U_{n-1}$

Rumus Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio/perbandingan yang sama untuk setiap sukunya yang ber urutan.
$U_{n}=ar^{n-i}$

dimana rasio $(r)=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$

Menghitung Jumlah suku pertama $S_{n}=\frac{a(r^{n-1})}{r-1},$ untuk $r>1$

Atau $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r},$ untuk $r<1$

Suku tengah dan sisipan untuk barisan dan deret geometri

$U_{t}=\sqrt{a\times Un}$ dimana jika disisipi k suku sehingga membentuk barisan baru maka rasionya menjadi

$r'=\sqrt[k+1]{r}$

Deret geometri tak hingga Deret Geometri tak hingga dikatakan konvergen jika limit jumlah untuk (n→˜) berhingga (dapat ditentukan). Dengan syarat : -1 < r < 1, dan r ‡ 0. Maka

$S~=\frac{a}{1-r}$

Soal latihan 1

Soal Suku ke 4 dan ke 9 suatu barisan aritmatika berturut turut adalah 110 dan 150. Suku ke 30 barisan aritmatika tersebut adalah... ?

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan $U_{n}=a+(n-1)b$

Diketahui

$U_{4}=110\rightarrow U_{4}=a+(4-1)b\rightarrow 110=a+3b$

$U_{9}=150\rightarrow U_{9}=a+(9-1)b\rightarrow 150=a+8b$

___________________ —

$-40=-5b\rightarrow b=8$

$110=a+3b\rightarrow 110=a+3\times 8\rightarrow a=86$

Maka untuk $U_{30}=a+(30-1)b$

$=86+(29)\times 8=318$

Soal latihan 2

Barisan bilangan aritmatika teridiri atas 21 suku, dimana suku tengah barisan tersebut adalah 52. sedangkan U3,+U5 + U15 = 106. Maka nilai untuk suku ke 7 barisan tersebut adalah…?

Pembahasan Nilai U_tengahdari 21 suku adalah....

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

$U_{11}=a(11-1)b\rightarrow 52=a+(10)b.....Pers1$

$U_{3}+U_{5}+U_{15}=106\rightarrow U_{3}=a+(3-1)b$ $U_{3}=a+2b$

$U_{5}=a+4b$

$U_{15}=a+14b$

__________________ +

$3a+20b=106....Pers2$

$a+10b=52$ $x3\rightarrow 3a+20b=156$

$3a+20b=106$ $x1\rightarrow 3a+20b=106$

________________ — ________________________ —

$10b=50\rightarrow b=5$ maka subtitusikan nilai b ke pers 1

$a+10.5=52\rightarrow a=52-50=2$

Maka nilai $U_{7}=a+(7-1)b\rightarrow \mathbf{U_{7}=2+6.5=32}$

Soal latihan 3

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn= 5n² - 7n. Jika a suku pertama dan b adalah beda deret maka nilai 2a + 3b adalah... ?

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan $Sn=5n^{2}-7n$

Maka nilai $S_{1}=5\times 1^{2}-7\times 1=-2\rightarrow nilai S_{1}=U_{1}=-2$

$S_{2}=5\times 2^{2}-7\times 2=-6\rightarrowS_{2}=U_{1}+U_{2}\rightarrow U_{2}=S_{2}-U_{1}\rightarrow U_{2}=6-(-2)=8$

$b=U_{2}-U_{1}\rightarrow b=8-(-2)=10$

Maka nilai $2a+3b=2\times (-2)+3\times 10=-4+30=26$

Soal latihan 4

Diketahui barisan aritmatika dengan U_nadalah suku ke n. Jika U₂+ U₁₅ + U₄₀= 165, maka nilai U₁₉adalah...?

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan:

$U_{2}=a+(2-1)b\rightarrow U_{2}=a+b$

$U_{15}=a+(15-1)b\rightarrow U_{15}=a+14b$ $U_{2}+U_{15}+U_{40}=165$

$U_{40}=a+(40-1)b\rightarrow U_{40}=a+39b$

________________ +

$3a+54b=165.....dibagi3$

$a+18b=55$

$U_{19}=a+(19-1)b=a+18b.$

Jadi nilai $U_{19}=55$

Soal latihan 5

Antara dua suku yang ber urutan pada baris 3, 18, 33, …… di sisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika yang baru. Jumlah 7 suku pertama barisan yang akan terbentuk adalah... ?

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan: jika beda (b) = p kemudian disisipi k buah bilanganyang baru maka berlaku
$b'=\frac{b}{k+1}$ maka jika baris aritmatika 3, 18, 33, ....
$b=18-3=15$
$k=4$ maka $b'=\frac{15}{4+1}=3$

Jadi barisan aritmatika barunya adalah: a = 3, b' = 3

$S_{7}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b=\frac{7}{2}(2\times 3+(7-1)\times 3)=\frac{7}{2}\times 24=84$

Soal latihan 6

Jika X₆= 162 adalah suku ke enam deret geometri,

log X₂ + log X₃+ log X₄ + log X₅ = 4 log 2 + 6 log 3 maka jumlah empat suku pertama deret tersebut sama dengan...?

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan

Diketahui $X_{6}=162$ (suku ke 6 dari deret geometri atau ar^n-i)

Jadi ar^6-i = 162 → ar⁵ = 162 .... pers1

$\log X_{2}+\log X_{3}+\log X_{4}+\log X_{5}=4\log 2+6\log 3$

$\log ar+\log ar^{2}+\log ar^{3}+\log ar^{4}=\log 2^{4}+\log3^{6}$

$\log (a^{4}r^{i0})=\log(2^{4}.3^{6})\rightarrow a^{4}r^{i0}=2^{4}.3^{6}......$ disederhanakan menjadi

$a^{2}r^{5}=2^{2}.3^{3}\rightarrow a.ar^{5}=108.....$ Pers 2

dari pers 1 ke pers 2 menjadi $a.162=108$ maka nilai a = $\frac{108}{162}=\frac{2}{3}$

$ar^{5}=162\rightarrow \frac{2}{3}.r^{5}=162\rightarrow r^{5}=243\rightarrow r=3$

Maka $S4=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}=\frac{\frac{2}{3}(3^{4}-1)}{3-1}=\frac{\frac{2}{3}(80)}{2}=\frac{160}{6}=26\frac{2}{3}$

Soal latihan 7

Jumlah deret Geometri tak hingga = 6. Jika tiap suku di kuadratkan maka jumlahnya = 4. suku pertama deret tersebut adalah...?

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan $S\sim =\frac{a}{1-r}$ (rumus jumlah deret Geometri tak hingga)

Jadi: $6=\frac{a}{1-r}\rightarrow a=6-6r$ $a^{2}=(6-6r)^{2}\rightarrow a^{2}=36-72r+36r^{2}....$ Pers 1

Dari soal... Jika tiap suku di kuadrankan maka jumlahnya = 4. Maka...

$S\sim =\frac{a}{1-r}$ dikuadratkan menjadi $S\sim =\frac{a^{2}}{1-r^{2}}=4\rightarrow a^{2}=4-4r^{2}....$ Pers 2

Dari persamaan 1 dan 2 didapat: $36-72r+36r^{2}=4-4r^{2}\rightarrow 40r^{2}-72r+32=0$

Mencari nilai r1 dan r2 → $(5r-4)(r-1)=0$ $r1=\frac{4}{5}$ (memenuhi) $r2=1$ (tidak memenuhi

Jadi suku pertama deret tersebut adalah: $a6-6r=6-6.\frac{4}{5}=6-\frac{24}{5}=\frac{30-24}{5}=\frac{6}{5}.$

Soal latihan 8

Jika tiga bilangan positif x-2, x+1 dan 2x+2 membentuk barisan geometri maka hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah...?

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan:

Barisan geometri x-2, x+1, 2x+2...

Maka nilai r adalah $\frac{x+1}{x-2}=\frac{2x+2}{x+1}\rightarrow (x+1)^{2}=(x+1)^{2}=(x-2)(2x+2)$

$x^{2}+2x+1=2x^{2}-2x-4$

$x^{2}-4x-5=0\rightarrow (x-5)(x+1)=0$

Maka nilai x = 5 dan x = -1 ambil nilai positif maka x = 5

Barisan geometri menjadi: $x-2,x+1,2x+2\rightarrow 3,6,12$

Hasil kali ketiga bilangan menjadi $3\times 6\times 12=216$

Soal latihan 9

Jika p<-3 dan q >5, maka nila q-p adalah...?

Lebih besar dari pada 9
Lebih besar dari pada 8
Lebih kecil dari pada 8
Lebih kecil dari pada 2
Lebih besar dari pada -2

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan

Diketahui q> 5

p<-3 → untuk menjadi -p maka dikali dengan minus (—) menjadi -p> 3

maka q — p menjadi

q> 5

-p>3

_____ +

q-p> 8

Soal latihan 10

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $3X^{2}-2X-8>0$ untuk $X\epsilon R$ adalah...

$\left \{ X|X>2 \ atau \ x <-\frac{3}{4} \right \}$
$\left \{ X|X>2 \ atau \ x <-\frac{4}{3} \right \}$
$\left \{ X|-\frac{4}{3}<X<2 \right \}$
$\left \{ X|-\frac{3}{4}<X<2 \right \}$
$\left \{ X|X>\frac{4}{3}\ atau \ X<-2 \right \}$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan

Kita cari faktor nilai X pembuat nol

$3X^{2}-2X-8=0\rightarrow (3X+4)(X-2)=0\rightarrow X_{1}=-\frac{4}{3}\rightarrow X_{2}=2$

Kemudian kita buat gambar dalam garis bilangan kita coba subtitusikan jika nilai X = maka hasilnya adalah $3.1^{2}-2.1-8=-7$ maka antara $\frac{4}{3}$ dan $2$ adalah daerah negatif, jika nilai X = 3 maka hasilnya 13 nilai positif dst...

Maka jawabannya adalah: $x<-\frac{4}{3}\ atau \ x>2$ Jawabannya adalah b.

Soal latihan 11

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $X^{2}-8x+15\leq 0,$ untuk $X\epsilon R$ adalah...

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan:

$X^{2}-8x+15\leq 0$

$(x-3)(x-5)\leq \rightarrow x=3\ dan\ x=5$

Gambar garis bilangan:

Kita subtitusikan nilai x dibawah 2 misal x = 1 maka didapat $1^{2}-8+15=8(+)$

Jika nilai x = 4 maka $4^{2}-8.4+15=-1(-)$

dan jika x = 6 maka $6^{2}-8.6+15=3(+)$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah: $\left \{ X|3\leq X\leq 5 \right \}$

Soal latihan 12

Nilai X yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x+1}{x+1}>\frac{x}{x-1}$ adalah...

$x<1$
$x>-1$
$-1\leq x<1$
$x<1\ atau\ -1<x<1$
$x<1\ atau\ x>1$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Pembahasan
$\frac{x+1}{x+1}>\frac{x}{x-1}\rightarrow \frac{x+1}{x+1}-\frac{x}{x-1}>0\rightarrow \frac{(x+1)(x-1)-x(x+1)}{(x+1)(x-1)}>0$

$\frac{x^{2}-1-x^{2}-x}{(x+1)(x-1)}=0\rightarrow \frac{-1-x}{(x+1)(x-1)}>0$

Syarat penyelesaian penyebut tidak boleh 0, atau atau x≠1 dan x≠-1
Maka nilai nilai x yang memnuhi adalah x<-1, atau -1<x<1

Soal Soal Lain

1. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 2 dan - 13. jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …

-580
-490
-440
-410
-380

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: D

(i) U₃ = 2 → a + 2b = 2

(ii) U_{8 = -13 → a + 7b = -13}

Eliminasikan (i) dan (ii)

a + 7b = -13

a + 2b = 2

5b = -15

b = -3

a = 8

Jumlah 20 suku pertama = S₂₀

$=\frac{20}{2}(2.8+19.(-3))$

$=10(16-57)=10(-41)=-410$

2. Barisan geometri dengan suku ke -5 adalah $\frac{1}{3}$ dan rasio $\frac{1}{3}$ , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah...

$27$
$9$
$\frac{1}{27}$
$\frac{1}{81}$
$\frac{1}{243}$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: E

Barisan geometri dengan U₅ = $\frac{1}{3}$

dan r = $\frac{1}{3}$

1) U₅= ar⁴

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}=a.(\frac{1}{3})^{4}$

$\Leftrightarrow a=27$

2) $U_{9}=ar^{8}=27(\frac{1}{3})^{8}$

$\frac{3^{3}}{3^{8}}=\frac{1}{3^{5}}=\frac{1}{243}$

3. Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri. Potongan tali paling pendek 4cm dan potongan paling panjang 512 cm. panjang tali semua adalah …

508 cm
1.020 cm
1.024 cm
2.032 cm
2.048 cm

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: C

Barisan geometri: n = 8; a = 4

U₈ = ar⁷

512 = 4 r⁷

r⁷= 128

r = 2

Maka panjang tali semula adalah:

$S_{8}=\frac{a}{r-1}(r^{8}-1)$

$=\frac{4}{2-1}(2^{8}-1)=4(254)=1.024$

4. Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Tiap memantul, bola mencapai ketinggian $\frac{2}{3}$ dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai bola berhenti adalah …

36 meter
38 meter
45 meter
47 meter
51 meter

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: C

Panjang lintasan gerak bola sampai bola berhenti = 2S_∞- h_o

$=2\left [ \frac{a}{1-r} \right ]-h_{o}$

$=2\left [ \frac{9}{1-\frac{2}{3}} \right ]-9$

$=2(27)-9$

$=54-9$

$=45$

5. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + … + 99. Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 5 adalah…

950
1.480
1.930
1.980
2.430

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: D

1) Bilangan habis dibagi 2 membentuk deret

$U_{n}=a+(n-1)b$

$98=10+(n-1)2$

$88=2(n-1)$

$44=n-1$

$n=45$

$S_{45}=\frac{45}{2}(2.10+44.2)$

$=45(10+44)$

$=2.430$

2) Bilangan habis dibagi 2 dan 5 membentuk deret 10 + 20 + … + 90

$U_{n}=a+(n-1)b$

$90=10+(n-1)10$

$80=10(n-1)$

$8=n-1$

$n=9$

$S_{9}=\frac{9}{2}(2.10+8.10)$

$=9(10+40)=450$

3) Jadi, jumlah bilangan yang habis dibagi 2,tetapi tidak habis dibagi 5

$\Leftrightarrow 2.430-450=1.980$

6. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. rasio barisan tersebut adalah …

$4$
$2$
$\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}$
$-2$

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: B

Deret aritamatika dengan beda tiga. Misal a – 3, a, a + 3suku kedua dikurangi satu, terbentuk barisan geometri dengan jumlah 14

$(a-3)+(a-1)+(a+3)=14$

$a=14$

untuk a = 5 → deret aritmetika: 2, 4, 8

Jadi, $r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

7. Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 5 dan 20. Jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah...

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: E

Barisan aritmertika

(i) $U_{4}=5\rightarrow a+3b=5$

(ii) $U_{9}=20\rightarrow a+8b=20$

Dari (i) dan (ii)

$a+3b=5$

$a+8b=20$

______________ —

$5b=15$

$b=3...(iii)$

Subtitusikan (iii) ke (ii)

$a+3(3)=5$

$a+9=5$

$a=-4$

Jumlah 20 suku pertama = S₂₀

$S_{20}=\frac{20}{2}(2(-4)+19.3)$

$=10(-8+57)$

$=10(49)$

$=490$

8. Suku ke-2 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 6 dan 162. Suku ke-6 dari barisan itu adalah...

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: E

Barisan geometri

(i) $U_{2}=6\rightarrow ar=6$

(ii) $U_{5}=162\rightarrow ar^{4}=162$

Dari (i) dan (ii)

$\frac{U_{5}}{U_{2}}=\frac{162}{6}$

$\frac{ar^{4}}{ar}=27$

$r^{3}=27$

$r=3...(iii)$

Subtitusikan (iii) ke (i)

$ar=6$

$a(3)=6$

$a=2$

Suku ke-6 = U₆

9. Seorang Ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Makin muda usia anak makin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah...

60 buah
65 buah
70 buah
75 buah
80 buah

JAWABAN

TUTUP JAWABAN

Jawaban: D

Deret aritmetika

1) $U_{2}=11\rightarrow a+b=11...(i)$

2) $U_{4}=19\rightarrow a+3b=19...(ii)$

3) Dari (i) dan (ii)

$a+3b=19$

$a+b=11$

$2b=8$

$b=4$

Subtitusikan b = 4 ke (i)

$\Leftrightarrow a+4=11$

$\Leftrightarrow a=7$

4) $S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$S_{5}=\frac{5}{2}(2.7+(5-1)4)$

$=\frac{5}{2}(14+(4)4)$

$=\frac{5}{2}(30)=75$

10. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul menjadi $\frac{3}{4}$ tinggi sebelumnya. Panjang lintasan bola tenis tersebut sampai berhenti adalah...